Hiparco de Nicéia

(190 a.C – 120 a.C)           Hiparco, em grego Hipparkhos, nasceu em Nicéia, foi astrónomo, construtor, cartógrafo e matemático grego da escola de Alexandria, hoje Iznik, na Turquia. Todas as informações sobre a sua vida e obra são originadas das obras de terceiros como Ptolomeu e Estrabão. Na obra que Cláudio Ptolomeu desenvolveu com base na reunião do conhecimento enciclopédico da época, o Almagesto, aparece numerosas referências a Hiparco, pois foi reconstituído partes do seu pensamento e das suas descobertas. Hoje, Hiparco é considerado o fundador da astronomia científica e é também chamado “o pai da trigonometria”, pois na segunda metade do século II a.C., foi o pioneiro na elaboração de uma tabela trigonométrica, isto é, uma tábua de cordas, com os valores dos seus arcos para uma série de ângulos. Estes cálculos teriam sido usados nos seus estudos em astronomia. Usando os conhecimentos dos babilónios, introduziu na Grécia a divisão da circunferência em 360º. Fez melhoramentos em algumas constantes astronómicas importantes tais como a duração do dia e do ano. Com essas medidas de tempo reajustadas, Hiparco pôde efectuar previsões de eclipses do Sol e da Lua com um grau de precisão jamais obtido anteriormente. No entanto, foi detectado, mais tarde, uma margem de erro de 6 minutos nos seus cálculos. Foi este matemático que criou o primeiro astrolábio destinado a medir a distância de qualquer astro em relação ao horizonte e concebeu o sistema de localização pelo cálculo de longitude e latitude, dividindo o mundo em zonas climáticas. Hiparco, através de um aparelho que seria o percursor do teodolito moderno, confirmou que a distância das estrelas não era fixa na esfera celeste (é a esfera de raio infinito centrada na Terra ou no Sol). A partir dessas observações, deduziu que o plano que contém a órbita da Terra deveria ter-se deslocado em sentido anti-horário. Já convencido de que a esfera celeste não era constante, dispôs-se a fazer um mapa estelar, pois queria um catálogo onde pudesse registar a luminosidade apresentada por cada estrela da sua época. A ideia era baseada na configuração dos astros que poderiam sofrer outras alterações além das periódicas, já conhecidas. Essas alterações talvez só passaram despercebidas pela lentidão com que se processavam.

Distância da Terra – Lua

Hiparco concebeu um método simples e engenhoso para determinar a distância da Terra à Lua. O método baseia-se nas posições relativas do Sol, Terra e Lua durante um eclipse lunar, isto é, quando a Terra fica exactamente entre o Sol e a Lua.

Para medir a distância da terra à Lua, Hiparco nem precisou de utilizar o diâmetro da Terra. Imaginou dois triângulos rectângulos, cujas hipotenusas ligariam o centro da Terra às bordas do disco solar e lunar, por ocasião de um eclipse da Lua.

Hiparco considerou que a duração de um eclipse lunar era equivalente a duas vezes o ângulo d, ou seja, 2 × d = T1.

O período orbital da Lua, isto é, o tempo que ela gasta para completar uma volta inteira (360°) em torno da Terra já era conhecido. Então estabeleceu uma segunda equação, T2 = 360º. E através de uma regra de três simples determinou uma relação entre as duas equações uma vez que a única variável desconhecida era d.

Posteriormente, através do seguinte esquema:

designou o ângulo c como o semi-diâmetro do Sol, ou seja, a metade do ângulo pelo qual vemos o disco solar. O ângulo arepresenta a metade do ângulo pelo qual um observador no Sol veria a Terra.

Utilizando os estudos de trigonometria, Hiparco verificou que a + b = c + d e como a é muito pequeno, podia escrever b = c + d.

 Mas Hiparco queria mesmo era o valor de X (distância da Terra à Lua). Para tal usou a seguinte razão trigonométrica, , pois bastava calcular o valor de seno b consultando as tábuas trigonométricas.

Sendo assim, faltava descobrir quantos raios da Terra existem até à Lua. Então Hiparco escreveu o resultado em função de R.

O resultado obtido foi um valor de X entre 62 e 74 vezes R. O valor real fica entre 57 e 64, mas o seu erro é admissível tendo em conta a precisão necessária nas medidas angulares.

Referências:

·            http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/historia/historia_trigonometria.htm 

·            http://br.geocities.com/saladefisica9/biografias/Hiparco.htm 

·            http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/curiosidades/index.htm 

·            http://www.zenite.nu/ 

A divisão da circunferência

A circunferência dividida em 360º

Hiparco de Nicéia assim como a maioria dos matemáticos de sua época, era fortemente influenciado pela matemática da Babilónia. Como os babilónios, ele também acreditava que a melhor base para realizar contagens era a base 60.

Os babilónios não escolheram a base 60 por acaso. O número 60 tem muitos divisores – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 – e pode ser facilmente decomposto num produto de factores, o que facilita muito os cálculos, principalmente as divisões. Foi por essa mesma razão que, ao dividir a circunferência, Hiparco escolheu um múltiplo de 60:

           - Cada uma das 360 partes iguais em que a circunferência foi dividida recebeu o nome de arco de 1 grau.

           -  Cada arco de 1 grau foi dividido em 60 partes iguais e cada uma dessas partes recebeu o nome de arco de 1 minuto.

           - Cada arco de 1 minuto também foi dividido em 60 arcos iguais e recebeu o nome de arco de 1 segundo.

Minuto – sexagésima parte de um grau: 1º = 60’

 Segundo – sexagésima parte de um minuto: 1’ = 60”

Um pouco da História da Trigonometria

 A palavra trigonometria trata do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo:

tri - três

gono - ângulo

metrien – medida

A origem da trigonometria é incerta. O seu desenvolvimento deu-se principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilónios.

Não se sabe ao certo se o conceito da medida de ângulo surgiu com os gregos ou se eles, por contacto com a civilização babilónica, adoptaram as suas fracções sexagesimais.

Os gregos fizeram um estudo sistemático das relações entre ângulos – ou arcos – numa circunferência e os comprimentos das suas cordas.

Já na antiguidade, por meio de observações elementares, os astrónomos sentiam necessidade de desenvolver métodos elaborados de medição. Pois frequentemente os problemas astronómicos requerem que certas partes de figuras geométricas imaginárias sejam deduzidas de outras, já conhecidas. Em geral isso faz-se mediante o estudo das relações entre os ângulos de um triângulo; ou seja, a trigonometria.

A "Trigonometria" era baseada no estudo da relação entre um arco arbitrário e a sua corda.

Os conceitos de seno e co-seno foram originados pelos problemas relativos à Astronomia, enquanto que o conceito detangente, ao que parece, surgiu da necessidade de calcular alturas e distâncias.

Como medir uma altura inacessível?

O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva, cavidade. Muitas pessoas acreditam que este nome deve-se ao facto de o gráfico da função correspondente ser bastante sinuoso.

A palavra co-seno surgiu somente no século XVII, como sendo o seno de um ângulo complementar.

Por sua vez, a função tangente era a antiga função sombra, que tinha ideias associadas a sombras projectadas por uma vara colocada na horizontal. A variação na elevação do Sol causava uma variação no ângulo que os raios solares formavam com a vara e, portanto modificava o tamanho da sombra.

  Em qualquer livro elementar de Física e Matemática aparecem as tabelas de senos, co-senos e tangentes. Já em 1700, o desenvolvimento da análise infinitesimal permitiu aos matemáticos calcular o valor das funções trigonométricas.